【题目】已知函数,其中
,
且
.
(1)当(
为自然对数的底)时,讨论
的单调性;
(2)当 时,若函数
存在最大值
,求
的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)求导可得,分类讨论:
①当,
在
上是减函数;
②当时,
在
上递减,在
上递增.
(2)当,
.据此可知:
①当时,
无极大值,也无最大值;
②当,
的极大值为
,
.其中即
,令
,结合导函数考查其单调性讨论可得
的最小值为
,此时
.
详解:(1)由题,
,
①当,当
,
在
上是减函数;
②当,当
,
,
在
上是减函数;
当,
,
在
上是增函数.
即当时,
在
上个递减;
当时,
在
上递减,在
上递增.
(2)当,
,
.
①当时,
,
,则
,
在
上为增函数,
无极大值,也无最大值;
②当,设方程
的根为
,得
.
即,
所以在
上为增函数,在
上为减函数,
则的极大值为
,
.
令,令
,
.
.
当时
;当
时
,所以
为
极小值也是最小值点.
且,即
的最小值为
,此时
.
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【题目】设函数f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率;
(2)求函数的单调区间与极值.
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【题目】央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况,随机抽取了某市名观众进行调查,其中有
名男观众和
名女观众,将这
名观众收视时间编成如图所示的茎叶图(单位:分钟),收视时间在
分钟以上(包括
分钟)的称为“朗读爱好者”,收视时间在
分钟以下(不包括
分钟)的称为“非朗读爱好者”.
(1)若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取名,再从这
名观众中任选
名,求至少选到
名“朗读爱好者”的概率;
(2)若从收视时间在40分钟以上(包括40分钟)的所有观众中选出男、女观众各1名,求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.
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【题目】我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所载,若截得的两个截面面积总相等,则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等(任何一个平面所载的两个截面面积都相等).将椭圆 绕
轴旋转一周后得一橄榄状的几何体,类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )
A. B.
C.
D.
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【题目】下列结论中:
①定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数;②若f(2)=f(-2),则函数f(x)不是奇函数;③函数y=x-0.5是(0,1)上的减函数;④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同;⑤若x0是二次函数y=f(x)的零点,且m<x0<n,那么f(m)f(n)<0一定成立.
写出上述所有正确结论的序号:_____.
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【题目】如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1为菱形,侧面ACC1A1为正方形,侧面ABB1A1⊥侧面ACC1A1.
(1)求证:A1B⊥平面AB1C;
(2)若AB=2,∠ABB1=60°,求三棱锥C1-COB1的体积.
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【题目】已知函数.
(1)当,
时,求满足
的
的值;
(2)若函数是定义在
上的奇函数.
①存在,使得不等式
有解,求实数
的取值范围;
②若函数满足
,若对任意
且
,不等式
恒成立,求实数
的最大值.
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【题目】如图是某神奇“黄金数学草”的生长图.第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干,第2阶段在枝头生长出两根新的枝干,新枝干的长度是原来的,且与旧枝成120°,第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干,新枝干的长度是原来的
,且与旧枝成120°,……,依次生长,直到永远.
(1)求第3阶段“黄金数学草”的高度;
(2)求第13阶段“黄金数学草”的高度;
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