Question

【题目】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．

求证：(1)E、C、D1、F四点共面；

(2)CE、D1F、DA三线共点．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）要证四点共线，可证明EF//CD1，根据推论三可得四点共面；（2）从图中可以看出AD是平面ABCD与平面ADD1A1的交线，说明D1F与CE相交，则交点在两平面的交线上，从而得三线共点

试题解析：

证明：(1)如图所示，连接CD1、EF、A1B，

∵E、F分别是AB和AA1的中点，

∴FE∥A1B且EF＝A1B.

∵A1D1∥BC，A1D1=BC

∴四边形A1BCD1是平行四边形，

∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，

∴EF与CD1可确定一个平面，即E、C、D1、F四点共面．

(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，

∴四边形CD1FE是梯形，

∴直线CE与D1F必相交，设交点为P，

则P∈CE平面ABCD，

且P∈D1F平面A1ADD1，

∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.

又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，

∴P∈AD，∴CE、D1F、DA三线共点．