Question

【题目】已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，焦距为2c，且c， ，2成等比数列．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)点B坐标为(0， )，问是否存在过点B的直线l交椭圆C于M，N两点，且满足 (O为坐标原点)？若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ＋y2＝1(Ⅱ)y＝x＋或y＝－x＋.

【解析】试题分析：(Ⅰ)根据题意可以知道: ()2＝2·c ,椭圆的离心率可得a＝,即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;

(Ⅱ)设直线MN的方程,代入椭圆方程,由韦达定理及向量数量积的坐标运算,即可求得k的值,直线l的方程.

试题解析：(Ⅰ)( )2＝2·c，解得c＝1.

又e′＝＝，及a2＝b2＋c2，解得a＝，b＝1.

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(Ⅱ)若直线l过点B(0， )．

当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；

故直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－＝kx，即y＝kx＋.

联立方程组消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＋2＝0.

显然Δ＝(4k)2－4(1＋2k2)×2>0，

解得k>或k<－.(*)

设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

由，得＝0，则x1x2＋y1y2＝0.

即＋(kx1＋)(kx2＋)＝0，得＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝0，

得＋k2·＋k＋2＝0，

化简得＝0，解得k＝±.符合(*)式，

此时直线l的方程为y＝x＋或y＝－x＋.

故存在过点B的直线l交椭圆C于M，N两点，且满足，

此时直线l的方程为y＝x＋或y＝－x＋.