【题目】已知数列{an}的前n项和Sn,且3an+Sn=4(n∈N*).
(1)证明:{an}是等比数列;
(2)在an和an+1之间插入n个数,使这n+2个数成等差数列.记插入的n个数的和为Tn,求Tn的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(1)由已知得,则当时, ,两式相减,即可证明数列为首项为,公比为的等比数列;
(2)由(1)得,求得,求得,即得,即可求得的最大值.
试题解析:
(1)证明 因为3an+Sn=4,所以Sn=4-3an(n∈N*),
所以,当n≥2时,有Sn-1=4-3an-1,
上述两式相减,得an=-3an+3an-1,
即当n≥2时,=.
又n=1时,a1=4-3a1,a1=1.
所以{an}是首项为1,公比为的等比数列.
(2)解 由(1)得an=a1·qn-1=,
所以Tn===,
因为Tn+1-Tn=-
=,
所以T1<T2<T3,T3=T4,T4>T5>T6>…,
所以Tn的最大值为T3=T4=.
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【题目】某运输公司接受了向一地区每天至少运送180 t物资的任务,该公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的费用为A型卡车320元,B型卡车504元,则公司如何调配车辆,才能使公司所花的费用最低,最低费用为________元.
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【题目】设f(x)=ex(ln x-a)(e是自然对数的底数,
e=2.71 828…).
(1)若y=f(x)在x=1处的切线方程为y=2ex+b,求a,b的值.
(2)若函数f(x)在区间上单调递减,求实数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为,焦距为2c,且c, ,2成等比数列.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)点B坐标为(0, ),问是否存在过点B的直线l交椭圆C于M,N两点,且满足 (O为坐标原点)?若存在,求出此时直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (α为参数),直线l的参数方程为 (t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A,且点A的极坐标为(2,θ),其中θ∈.
(1)求θ的值;
(2)若射线OA与直线l相交于点B,求|AB|的值.
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【题目】在公比为q的等比数列{an}中,已知a1=16,且a1,a2+2,a3成等差数列.
(Ⅰ)求q,an;
(Ⅱ)若q<1,求满足a1-a2+a3-…+(-1)2n-1a2n>10的最小的正整数n的值.
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【题目】在某校举行的航天知识竞赛中,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值,并计算所抽取样本的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)填写下面的2×2列联表,并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”?
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 5 | ||
不获奖 | |||
合计 | 200 |
附表及公式:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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