Question

【题目】(导学号：05856266)[选修4－5：不等式选讲]

设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.

(Ⅰ)解不等式f(x)>0；

(Ⅱ)若x0∈R，使得f＋2m2<4m，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在每一个前提下去解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；

（2）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m成立，只需4m﹣2m2＞fmin（x），解出实数m的取值范围．

试题解析：

(Ⅰ)当x<－2时，f(x)＝－＝1－2x＋x＋2＝－x＋3，

由f(x)>0，即－x＋3>0，解得x<3.

又x<－2，所以x<－2；

当－2≤x≤时，f(x)＝－＝1－2x－x－2＝－3x－1，

由f(x)>0，即－3x－1>0，解得x<－.又－2≤x≤，所以－2≤x<－；

当x>时，f(x)＝－＝2x－1－x－2＝x－3，由f(x)>0，即x－3>0，解得x>3.

又x>，所以x>3.

综上，不等式f(x)>0的解集为.

(Ⅱ)f(x)＝－

＝

所以f(x)min＝f＝－.

因为x0∈R，使得f＋2m2<4m，

所以4m－2m2>f(x)min＝－，整理得4m2－8m－5<0，解得－<m<.

因此，实数m的取值范围是.