Question

9．函数f（x）=ln$\root{3}{x+1}$-$\frac{1}{3}$ln$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$的导数是f′（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{3}+1}$．

Answer 1

分析 导数的运算法则和复合函数求导法则求导即可．

解答 解：f（x）=ln$\root{3}{x+1}$-$\frac{1}{3}$ln$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{\root{3}{x+1}}$•（$\root{3}{x+1}$）′-$\frac{1}{3}$（x²-x+1）（$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$）′
=$\frac{1}{\root{3}{x+1}}$•$\frac{1}{3}$（x+1）${\;}^{-\frac{2}{3}}$+$\frac{1}{3}$（x²-x+1）$\frac{2x-1}{（{x}^{2}-x+1）^{2}}$；
=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{2x-1}{{x}^{2}-x+1}$，
=$\frac{1}{3}$•$\frac{3{x}^{2}}{{x}^{3}+1}$，
=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{3}+1}$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{{x}^{3}+1}$．

点评 本题考查了导数的运算法则和复合函数求导法则，以及运算能力，属于基础题．