Question

4．两定点F₁（-3，0），F₂（3，0），P为曲线$\frac{|x|}{5}+\frac{|y|}{4}$=1上任意一点，则（　　）

• A． |PF₁|+|PF₂|≥10
• B． |PF₁|+|PF₂|≤10
• C． |PF₁|+|PF₂|＞10
• D． |PF₁|+|PF₂|＜10

Answer 1

分析 根据题意，曲线$\frac{|x|}{5}+\frac{|y|}{4}$=1表示的图形是图形是以A（-5，0），B（0，4），C（5，0），D（0，-4）为顶点的菱形，而满足|PF₁|+|PF₂|=10的点的轨迹恰好是以A、B、C、D为顶点的椭圆，由此结合椭圆的定义即可得到|PF₁|+|PF₂|≤10．

解答 解：∵F₁（-3，0），F₂（3，0），
∴满足|PF₁|+|PF₂|=10的点在以F₁、F₂为焦点，
2a=10的椭圆上
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
∵曲线$\frac{|x|}{5}+\frac{|y|}{4}$=1表示的图形是图形是以A（-5，0），
B（0，4），C（5，0），D（0，-4）为顶点的菱形
∴菱形ABCD的所有点都不在椭圆的外部，
因此，曲线$\frac{|x|}{5}+\frac{|y|}{4}$=1上的点P，必定满足|PF₁|+|PF₂|≤10
故选：B．

点评 本题给出曲线方程，求曲线上的点P满足的条件．着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．