Question

19．已知函数f（x）=1og₂$\frac{3x-1}{3x+1}$．
（1）求函数的定义域；
（2）证明：函数是奇函数；
（3）证明：函数中其定义域上的每个区间上是增函数．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\frac{3x-1}{3x+1}＞0$，从而求函数的定义域；
（2）?x∈{x|x＞$\frac{1}{3}$或x＜$-\frac{1}{3}$}，证明f（x）+f（-x）=0即可；
（3）可判断当x＞$\frac{1}{3}$时，y=$\frac{3x-1}{3x+1}$=1-$\frac{2}{3x+1}$为增函数，从而由复合函数的单调性证明．

解答 解：（1）由题意得，$\frac{3x-1}{3x+1}＞0$，
解得，x＞$\frac{1}{3}$或x＜$-\frac{1}{3}$；
故函数的定义域为{x|x＞$\frac{1}{3}$或x＜$-\frac{1}{3}$}；
（2）证明：?x∈{x|x＞$\frac{1}{3}$或x＜$-\frac{1}{3}$}，则-x∈{x|x＞$\frac{1}{3}$或x＜$-\frac{1}{3}$}；
f（x）+f（-x）=1og₂$\frac{3x-1}{3x+1}$+1og₂$\frac{-3x-1}{-3x+1}$=1og₂1=0，
故函数是奇函数；
（3）证明：当x＞$\frac{1}{3}$时，y=$\frac{3x-1}{3x+1}$=1-$\frac{2}{3x+1}$为增函数，
又∵y=1og₂x在其定义域上是增函数，
∴f（x）=1og₂$\frac{3x-1}{3x+1}$在（$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函数，
又∵函数是奇函数，
∴f（x）=1og₂$\frac{3x-1}{3x+1}$在（-∞，-$\frac{1}{3}$）上是增函数，
故函数在其定义域上的每个区间上是增函数．

点评 本题考查了函数的性质的判断与证明．