Question

14．设函数f（x）=$\frac{1+{e}^{\frac{1}{x}}}{1-{e}^{\frac{1}{x}}}$，试求：
（1）$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）；
（2）$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$f（x）；
（3）$\underset{lim}{x→0}$f（x）．

Answer 1

分析 （1）$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（$\frac{1+{e}^{\frac{1}{x}}}{1-{e}^{\frac{1}{x}}}$）=-1；
（2）$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$f（x）=$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$（$\frac{1+{e}^{\frac{1}{x}}}{1-{e}^{\frac{1}{x}}}$）=1；
（3）故$\underset{lim}{x→0}$f（x）不存在．

解答 解：（1）∵$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$${e}^{\frac{1}{x}}$=+∞，
∴$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（$\frac{1+{e}^{\frac{1}{x}}}{1-{e}^{\frac{1}{x}}}$）=-1；
（2）∵$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$${e}^{\frac{1}{x}}$=0，
∴$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$f（x）=$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$（$\frac{1+{e}^{\frac{1}{x}}}{1-{e}^{\frac{1}{x}}}$）=1；
（3）由（1）（2）知，$\underset{lim}{x→0}$f（x）不存在．

点评 本题考查了左右极限的求法及应用．