【题目】如图1,梯形中,
为
中点.将
沿
翻折到
的位置,如图2.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)设分别为
和
的中点,试比较三棱锥
和三棱锥
(图中未画出)的体积大小,并说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)体积相等.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意,利用线面垂直的判定定理,证得平面
,再利用面面垂直的判定定理,即可证得,所以平面
平面
.
(Ⅱ)根据题设中的垂直关系,建立空间直角坐标系,求出平面和平面
的各自一个法向量,利用向量所成的角,即可求解线面角的正弦值.
(Ⅲ)方法一:先证得平面
,可得点
到平面
的距离相等,即可得到三棱锥
和
同底等高,所以体积相等;
方法二:取中点
,连接
,
,
,分别得到
,
,进而证得
平面
,即可点
、
到平面
的距离相等,所以三棱锥
和
同底等高,所以体积相等;
试题解析:
(Ⅰ)证明:因为,
,
,
,
平面
所以平面
因为
平面
,所以平面
平面
(Ⅱ)解:在平面内作
,
由平面
,建系如图.
则,
,
,
,
.
,
,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,令
得,
,
所以是平面
的一个方向量.
所以与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)解:三棱锥和三棱锥
的体积相等.
理由如:
方法一:由,
,知
,则
因为平面
,所以
平面
.
故点、
到平面
的距离相等,有三棱锥
和
同底等高,所以体积相等.
方法二:如图,取中点
,连接
,
,
.
因为在中,
,
分别是
,
的中点,所以
因为在正方形中,
,
分别是
,
的中点,所以
因为,
,
平面
,
,
平面
所以平面
平面
因为平面
,所以
平面
故点、
到平面
的距离相等,有三棱锥
和
同底等高,所以体积相等.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分,为了解网络外卖在市的普及情况,
市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查,并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析,得到表格(单位:人).
(1)根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关?
(2)①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人,再从这5人中随机选出了3人赠送外卖优惠券,求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率;
②将频率视为概率,从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常使用网络外卖的人数为
,求
的数学期望和方差.
参考公式: ,其中
.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数,若,则称
为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数
,给出下面4个命题:①对任意
,都有
;②对任意
,都有
;③对任意
,都有
,
;④对任意
,都有
.其中所有真命题的序号是( )
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某协会对,
两家服务机构进行满意度调查,在
,
两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了
人,每人分别对这两家服务机构进行独立评分,满分均为
分.整理评分数据,将分数以
为组距分成
组:
,
,
,
,
,
,得到
服务机构分数的频数分布表,
服务机构分数的频率分布直方图:
定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:
分数 | |||
满意度指数 | 0 | 1 | 2 |
(1)在抽样的人中,求对
服务机构评价“满意度指数”为
的人数;
(2)从在,
两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取
人进行调查,试估计对
服务机构评价的“满意度指数”比对
服务机构评价的“满意度指数”高的概率;
(3)如果从,
服务机构中选择一家服务机构,以满意度出发,你会选择哪一家?说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校初三年级有名学生,随机抽查了
名学生,测试
分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体,下列结论正确的是( )
A. 该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的中位数为
次
B. 该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的众数为
次
C. 该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数超过
次的人数约有
人
D. 该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数少于
次的人数约为
人.
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