Question

2008年奥运会在中国召开，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N^*,且x≤12),该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)=150+2x(x∈N^*,且x≤12).

(1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；

(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？

Answer 1

解:(1)当x=1时,f(1)=p(1)=37；

当2≤x≤12时,f(x)=p(x)-p(x-1)=x(x+1)(39-2x)(x-1)x(41-2x)=-3x²+40x(x∈N^*,且2≤x≤12).

验证x=1符合f(x)=-3x²+40x，∴f(x)=-3x²+40x(x∈N^*且1≤x≤12).

(2)该商场预计销售该商品的月利润为g(x)=(-3x²+40x)(185-150-2x)=6x³-185x²+1 400x(x∈N^*,1≤x≤12),

g′(x)=18x²-370x+1 400,令g′(x)=0,解得x=5,x=(舍去).

当1≤x＜5时,g′(x)＞0,当5＜x≤12时,g′(x)＜0,

∴当x=5时,g(x)_max=g(5)=3 125(元).

综上5月份的月利润最大是3 125元.