Question

已知x²+px+q＜0的解集为{x|＜-x＜}，若f（x）=qx²+px+1
（1）求不等式f（x）＞0的解集．
（2）若f（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：∵（1）x²+px+q＜0的解集为{x|＜-x＜}，
∴-，是方程x²+px+q=0的两实数根，…2分
由根与系数的关系得：，
∴…4分
∵f（x）＞0，
∴不等式qx²+px+1＞0可化为-x²+x+1＞0，
即x²-x-6＜0，∴-2＜x＜3，
∴不等式qx²+px+1＞0的解集为{x|-2＜x＜3}．…（6分）
（2）依题意，f（x）＜，则-x²+x+1＜，即x²-x+a-6＞0恒成立，…8分
开口向上，所以△=1-4（a-6）＜0，…10分
解得a＞…（12分）
分析：（1）依题意，-，是方程x²+px+q=0的两实数根，可求得p，q，从而可求不等式f（x）＞0的解集；
（2）f（x）＜恒成立，?x²-x+a-6＞0恒成立?△＜0，从而可求得a的取值范围．
点评：本题考查恒成立问题，着重考查一元二次不等式的解法，属于中档题．