Question

5．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a₂为整数，且a₃∈[3，5]．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）判断数列的第二项，然后求解通项公式即可．
（2）利用裂项法化简求解即可．

解答 解：（1）由a₁=2，a₂为整数知，且a₃∈[3，5]．
a₃=4，{a_n}的通项公式为a_n=n+1．
（2）${b_n}=\frac{1}{（n+1）（n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，
于是${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）=\frac{5}{12}-\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$．

点评 本题考查数列的判断以及数列求和，裂项法的应用，考查计算能力．