Question

10．已知F为抛物线y²=2x的焦点，点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧，$\widehat{OA}$•$\widehat{OB}$=3（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是3$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，根据数量积列出方程得出A，B坐标的关系，求出直线AB与x轴的交点坐标，得出△ABO与△AFO面积之和关于y₁的函数，利用基本不等式得出面积和的最小值．

解答 解：设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$，y₂），
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{4}$+y₁y₂=3，
∴y₁y₂=-6或y₁y₂=2（舍）．
∴y₂=$\frac{-6}{{y}_{1}}$．
直线AB的方程为$\frac{y-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}=\frac{x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}}$，
令y=0得$\frac{-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=$\frac{x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}}$，解得x=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{2}$=3，
∴直线AB交x轴于点（3，0）．
不妨设y₁＞0，y₂＜0，
则S_△ABO=$\frac{1}{2}$×3×y₁-$\frac{1}{2}×3×{y}_{2}$=$\frac{3}{2}$（y₁-y₂），
又F（$\frac{1}{2}$，0），∴S_△AFO=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{y}_{1}$=$\frac{{y}_{1}}{4}$，
∴S_△ABO+S_△AFO=$\frac{7{y}_{1}}{4}$-$\frac{3}{2}$y₂=$\frac{7{y}_{1}}{4}$+$\frac{9}{{y}_{1}}$≥2$\sqrt{\frac{7{y}_{1}}{4}•\frac{9}{{y}_{1}}}$=3$\sqrt{7}$．
故答案为：3$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了抛物线与直线的位置关系，平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于中档题．