Question

已知a＞0，且a≠1，数列{a_n}的前n项和为S_n，它满足条件．数列{b_n}中，b_n=a_n•lga_n．
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对一切n∈N^*都有b_n＜b_n+1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知，a₁=a，转化为：，，①-②，得 ，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_n•lga_n，知b_n=naⁿlga，当对一切n∈N₊，都有b_n＜b_n-1，即有naⁿlga＜（n+1）a^n-1lga，由此进行分类讨论，能够得到a的取值范围．
解答：解：（1）由题意知，当n=1时，a₁=a，
当n≥2时，，，
①-②，得 ，
∴数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=aⁿ（n∈N⁺）．
（2）∵b_n=a_n•lga_n，
∴b_n=naⁿlga，
当对一切n∈N₊，都有b_n＜b_n-1，
即有naⁿlga＜（n+1）a^n-1lga，
当lga＞0，即a＞1时，a＞对一切n∈N₊都成立，∴a＞1．
当lga＜0，即0时，有 对一切n∈N₊都成立，∴．
综上所述a＞1或 ．
点评：本题考查数列的通项公式和数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．