精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

直线l：x-y=0与椭圆 $数学公式$ +y²=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：设过C点且与AB平行的直线L方程为 y=x+c，L与AB距离就是C点到AB的距离，也就是三角形ABC的BC边上的高，只要L与椭圆相切，就可得L与AB最大距离，从而可得最大面积．
解答：直线l：x-y=0与椭圆 $\text{[math]}$ +y²=1联立，消元可得 $\text{[math]}$ ，∴x=± $\text{[math]}$
∴不妨设A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），B（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
∴|AB|= $\text{[math]}$
设过C点且与AB平行的直线L方程为 y=x+c，L与AB距离就是C点到AB的距离，也就是三角形ABC的BC边上的高．
只要L与椭圆相切，就可得L与AB最大距离，可得最大面积．
y=x+c代入椭圆 $\text{[math]}$ +y²=1，消元可得3y²-2cy+c²-2=0
判别式△=4c²-12（c²-2）=0，∴c=± $\text{[math]}$
∴L与AB最大距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴△ABC最大面积： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是求出L与AB最大距离．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

已知C1：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，直线l：x-y=0与以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切，曲线C₂以x轴为对称轴．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，曲线C₂上任意一点M到l₁距离与MF₂相等，求曲线C₂的方程．
（3）若A（x₁，2），C（x₀，y₀），是C₂上不同的点，且AB⊥BC，求y₀的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

（2012•蓝山县模拟）直线l：x-y=0与椭圆

+y²=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为

．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源：《第2章圆锥曲线与方程》2010年单元测试卷（5）（解析版） 题型：解答题

已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+

=0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且∠AOB=

．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足

•

=0，求|MN|的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源：2009-2010学年山东省济南外国语学校高三（下）3月质量检测数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

已知

的离心率为

，直线l：x-y=0与以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切，曲线C₂以x轴为对称轴．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，曲线C₂上任意一点M到l₁距离与MF₂相等，求曲线C₂的方程．
（3）若A（x₁，2），C（x，y），是C₂上不同的点，且AB⊥BC，求y的取值范围．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源：2009年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文理合卷）（解析版） 题型：解答题

已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+