Question

2．已知集合A={x|x=m²-n²，m，n∈Z}，求证：
（1）任何奇数都是A的元素；
（2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A．

Answer 1

分析 （1）欲证明一切奇数属于集合M，根据已知中集合M的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数a∈M可得答案．
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．

解答 证明：（1）对任意奇数a，a可以表示为2n+1（n∈Z），
而2n+1=（n+1）²-n²，
故令m=n+1，m∈Z，则x=m²-n²=2n+1（n∈Z），
所以a∈M；
（2）设4k-2∈A，则存在m，n∈Z，使4k-2=m²-n²=（m+n）（m-n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m-n，m+n均为偶数，
∴（m-n）（m+n）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
∴（m-n）（m+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．
综上4k-2∉A．

点评 本小题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．