Question

下列四个函数中，不满足f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

的是（　　）

• A．f（x）=ax+b
• B．f（x）=x²+ax+b
• C．f（x）=

  1

  x

• D．f（x）=-lnx

Answer 1

分析：通过逐个分析A、B、C、D中的函数，比较f（

x1+x2

2

）与

f(x1)+f(x2)

2

的大小，从而得出结论；

解答：解：①f（x）=ax+b 中，任取x₁，x₂∈R，则f（

x1+x2

2

）=a•

x1+x2

2

+b=

1

2

[（ax₁+b）+（ax₂+b）]=

f(x1)+f(x2)

2

，∴A满足条件；
②f（x）=x²+ax+b中，任取x₁，x₂∈R，则f（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)2+a•

x1+x2

2

+b，

f(x1)+f(x2)

2

=

x12+ax1+b

2

+

x22+ax2+b

2

，
由f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=-

(x1-x2)2

4

≤0，知B满足条件；
③f（x）=

1

x

中，在其定义域内任取x₁、x₂，则f（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

x1+x2

2x1•x2

，
∵由f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=-

1

x1x2(x1+x2)

•

(x1-x2)2

2

，
当x₁、x₂∈（0，+∞）时，f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

≤0，当x₁、x₂∈（-∞，0）时，f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

≥0，∴C不满足条件；
④f（x）=-lnx中，在其定义域（0，+∞）内任取x₁、x₂，则f（

x1+x2

2

）=-ln（

x1+x2

2

），

f(x1)+f(x2)

2

=

-lnx1-lnx2

2

，
∴f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

=ln

2 x1x2

x1+x2

≤0，∴D也满足条件；

故选：C．

点评：本题考查了函数的单调性与函数值大小比较的灵活应用，是容易出错的题目．