Question

已知f(x)=2^x+,

(1)证明函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;

(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.

Answer 1

(1)设-1＜x₁＜x₂,

则f(x₁)-f(x₂)=(2x₁+)－＝

＝

∵y=2^x是增函数,且x₁＜x₂,

∴,即 又x₁-x₂＜0,x₁+1＞0,x₂+1＞0,

∴f(x₁)-f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂).

故f(x)是(-1,+∞)上的增函数.

(2)假设存在x₀＜0,使f(x₀)=0,则=-,

∴0＜＜1.

∴0＜-＜1.

解得＜x₀＜2,与假设x₀＜0矛盾.故方程f(x)=0没有负数根.