Question

（09年莱西一中模拟文）（12分）

设点，动圆经过点且和直线：相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设点为直线上的动点，过点作曲线的切线（为切点），

证明：直线 必过定点并指出定点坐标.

Answer 1

解析：（Ⅰ）过点作垂直直线于点

依题意得：，

所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线， 

即曲线的方程是                      ---------------------4分

（Ⅱ）解法一：设、、，则

由知，， ∴，

又∵切线AQ的方程为：，注意到

切线AQ的方程可化为：，

由在切线AQ上， ∴ 

所以点在直线上；

同理，由切线BQ的方程可得：.

所以点在直线上；

可知，直线AB的方程为：，

即直线AB的方程为：，

∴直线AB必过定点.     ------------------------12分

 

（Ⅱ）解法二：设，切点的坐标为，则

由知，，得切线方程：.

即为：，又∵在切线上，

所以可得：，解之得：.

所以切点，

∴.……………………………12分

故直线AB的方程为：

化简得：

即直线AB的方程为：

∴直线AB必过定点.………………………………12分