Question

方程sinx+cosx=

2

2

在区间[0，4π]上的所有的解的和是

9π

．

Answer 1

分析：用辅助角公式，将方程的左边进行合并，得

2

sin(x+

π

4

)=

2

2

，所以sin(x+

π

4

)=

1

2

，解这个三角方程得x=-

π

12

+2kπ或x=

7π

12

+2kπ  （k为整数），最后取[0，4π]上的交集，可得[0，4π]上的所有的解，从而求出它们的和．

解答：解：令y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)
若sinx+cosx=

2

2

，则sin(x+

π

4

)=

1

2

得x+

π

4

=

π

6

+2kπ或x+

π

4

=

5π

6

+2kπ  （k为整数）
∴x+

π

4

=

π

6

+2kπ或x+

π

4

=

5π

6

+2kπ  （k为整数）
∴x=-

π

12

+2kπ或x=

7π

12

+2kπ  （k为整数）
取[0，4π]上的交集，得

7π

12

、

23π

12

、

31π

12

、

47π

12

、共四个值
它们的和为9π
故答案为：9π

点评：本题考查了三角函数式的方程的解的问题，属于中档题．对三角函数的图象有充分的认识，结合图象解题可以加深我们对本题的理解．