Question

方程

|sinx|

x

=k（k＞0）有且仅有两个不同的实数解θ，φ（θ＞φ），则以下有关两根关系的结论正确的是（　　）

• A、sinφ=φcosθ
• B、sinφ=-φcosθ
• C、cosφ=θsinθ
• D、sinθ=-θsinφ

Answer 1

分析：由题意构造函数y₁=|sinx|，y₂=kx，然后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可得到选项．

解答：解：依题意可知x＞0（x不能等于0）
令y₁=|sinx|，y₂=kx，然后分别做出两个函数的图象．
因为原方程有且只有两个解，所以y₂与y₁仅有两个交点，而且第二个交点是y₁和y₂相切的点，
即点（θ，|sinθ|）为切点，因为（-sinθ）′=-cosθ，所以切线的斜率k=-cosθ．而且点（φ，sinφ）在切线y₂=kx=-cosθx上．
于是将点（φ，sinφ）代入切线方程y₂=xcosθ可得：sinφ=-φcosθ．
故选B．

点评：本题是中档题，考查数形结合的思想，函数图象的交点，就是方程的根，注意：y₁的图象只有X轴右半部分和y轴上半部分，且原点处没有值（因为x不等于0）；y₂的图象是过原点的一条直线．