Question

（本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90^o，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，E为PD的中点．

(1) 求证：CE∥平面PAB；

(2) 求PA与平面ACE所成角的大小；

(3) 求二面角E－AC－D的大小．

 

Answer 1

【答案】

(1) 取PA的中点F，连结FE、FB，则FE∥BC，且FE＝AD＝BC，∴BCEF是平行四边形，∴CE∥BF，而BFÌ平面PAB，∴CE∥平面PAB．(2) arcsin(3) arccos

【解析】

试题分析：（1）证明：取PA的中点F，连结FE、FB，则

FE∥BC，且FE＝AD＝BC，∴BCEF是平行四边形，

∴CE∥BF，而BFÌ平面PAB，∴CE∥平面PAB．

(2) 解：取 AD的中点G，连结EG，则EG∥AP，问题转为求EG与平面ACE所成角的大小.又设点G到平面ACE的距离为GH，H为垂足，连结EH，则∠GEH为直线EG与平面ACE所成的角．现用等体积法来求GH．

∵V_E－AGC＝S_△AGC·EG＝

又AE＝，AC＝CE＝，易求得S_△AEC＝，

∴V_G－AEC＝´´GH＝V_E－AGC＝，∴GH＝

在Rt△EHG中，sin∠GEH＝＝，即PA与平面ACE所成的角为arcsin．

(3) 设二面角E－AC－D的大小为a．

由面积射影定理得cosa＝＝，∴a＝arccos，即二面角E－AC－D的大小为arccos．

考点：线面平行的判定及线面角二面角的求解

点评：本题还可利用空间向量求解，利用AB,AD,AP两两垂直，以A为原点建立坐标系，根据线段长度写出各点坐标，带入相应的公式计算求角