Question

16．已知4x²+3y²=12，求x-3y的范围．

Answer 1

分析 方法一、运用椭圆的参数方程，设x=$\sqrt{3}$cosα，y=2sinα，（0≤α＜2π），再由辅助角公式和余弦函数的值域，即可得到所求范围；
方法二、令x-3y=t，可得x=3y+t，代入已知条件，整理得y的二次方程，运用判别式非负，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：方法一、4x²+3y²=12即为
$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
设x=$\sqrt{3}$cosα，y=2sinα，（0≤α＜2π），
则x-3y=$\sqrt{3}$cosα-6sinα=$\sqrt{3+36}$cos（α+θ），
（其中cosθ=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，sinθ=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$），
可得cos（α+θ）=1时，x-3y取得最大值$\sqrt{39}$；
cos（α+θ）=-1时，x-3y取得最小值-$\sqrt{39}$．
即x-3y的范围是[-$\sqrt{39}$，$\sqrt{39}$]．
方法二、令x-3y=t，可得x=3y+t，
代入方程4x²+3y²=12，可得
39y²+24ty+4t²-12=0，
由△≥0，即576t²-4×39（4t²-12）≥0，
解得-$\sqrt{39}$≤t≤$\sqrt{39}$，
则x-3y的范围是[-$\sqrt{39}$，$\sqrt{39}$]．

点评 本题考查给定条件下的取值范围的求法，注意运用换元法，考查椭圆的参数方程和二次方程的判别式法，考查运算能力，属于中档题．