Question

已知命题P：函数f（x）=x²+mx+1有两个不相同的零点且为负数；命题q：关于x的方程x²-2（m-2）x+m=0没有实数根．
（Ⅰ）求实数m的取值范围，使命题p为真命题；
（Ⅱ）若“￢p或q”为真命题，“￢p且q”为假命题，求实数m值的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用命题p为真命题，利用根与系数之间的关系确定实数m的取值范围．
（Ⅱ）由“￢p或q”为真命题，“￢p且q”为假命题，确定p，q的真假关系．

解答：解：（Ⅰ）若p为真命题，设两个零点为x₁，x₂，则由利用根与系数之间的关系得

△=m2-4＞0 x1+x2=-m＜0 x1x2=1＞0

，解得m＞2．
即实数m的取值范围是m＞2．
（Ⅱ）若q为真，则△=4（m-2）²-4m＜0，解得1＜m＜4．
若“￢p或q”为真命题，则￢p，q 至少有一个为真命题．
“￢p且q”为假命题，则￢p，q 至少有一个为假命题，所以￢p，q 一真一假，即p，q有相同的真假性．
当p真q真时，由

m＞2 1＜m＜4

 的2＜m＜4．
当p假且q假时，由

m≤2 m≤1且m≥4

，解得m≤1．
综上所求m的取值集合为{m|m≤1或2＜m＜4}．

点评：本题主要考查复合命题的真假关系的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系．