Question

已知函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a_n=3^f（n），n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，T_n=b₁+b₂+…b_n，若T_n＜m（m∈Z），求m的最小值；
（3）求使不等式≥对一切n∈N^*，均成立的最大实数p．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，进而求得函数f（x）的解析式，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）用错位相减法求出T_n的表达式即可求出对应的m的最小值；
（3）先把原不等式转化为恒成立，再利用函数的单调性求不等式右边的最小值即可求出最大实数p．
解答：解：（1）由题意得，解得，（2分）
∴f（x）=log₃（2x-1）
（4分）
（2）由（1）得，∴①②①-②得=，∴，（7分）
设，则由
得随n的增大而减小，T_n随n的增大而增大．∴当n→+∞时，T_n→3
又T_n＜m（m∈Z）恒成立，∴m_min=3（10分）
（3）由题意得恒成立
记，则（12分）∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为，∴，即（14分）
点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．