Question

8．等差数列{a_n}中，a₂=4，a₄+a₇=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求b₁+b₂+b₃+…+b₁₀的值．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d．运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项；
（Ⅱ）变形${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+2）（n+3）}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，运用裂项相消求和，即可得到所求值．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d．
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d=4\\（{{a_1}+3d}）+（{{a_1}+6d}）=15\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=1\end{array}\right.$，
所以a_n=a₁+（n-1）d=n+2；
（Ⅱ）∵a_n=n+2，
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+2）（n+3）}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_{10}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}=\frac{1}{3}-\frac{1}{13}=\frac{10}{39}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．