在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如图E、F分别是BB₁，CD的中点，
（1）求证：D₁F⊥平面ADE；
（2）cos $数学公式$ （说明如何建系）

解：建立如图所示的直角坐标系，
（1）证明：不妨设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），D₁（0，0，1），
E（1，1， $\text{[math]}$ ），F（0， $\text{[math]}$ ，0），
则 $\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ ，-1）， $\text{[math]}$ =（1，0，0）， $\text{[math]}$ =（0，1， $\text{[math]}$ ），
则 $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ =0，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．∴D₁F⊥平面ADE；

（2）解：B₁（1，1，1），C（0，1，0），
故 $\text{[math]}$ =（1，0，1）， $\text{[math]}$ =（-1，- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =-1+0- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
则cos $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ．
分析：以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立直角坐标系，
（1）表示出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ =0，推出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．证明D₁F⊥平面ADE；
（2）以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ 求出cos $\text{[math]}$
点评：本题考查用空间向量求直线间的夹角、距离，向量语言表述线面的垂直、平行关系，考查计算能力，转化思想，是中档题．

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