Question

已知函数f(x)=.

（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴的交点坐标；

（2）求函数的单调区间、最值和零点；

（3）设图象与x轴相交于(x₁,0)、(x₂,0)，不求出根，求|x₁-x₂|；

（4）已知f(-)=，不计算函数值，求f(-);

（5）不计算函数值，试比较f(-)与f(-)的大小；

（6）写出使函数值为负数的自变量x的集合.

Answer 1

思路解析：讨论二次函数的性质一般要明确其图象的开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点，求顶点可以用配方法，也可以直接用顶点公式(-,)，求与x轴的交点可借助配方法或直接使用求根公式x=(b²-4ac≥0).画函数图象时，一般要标注对称轴、顶点、与x轴的交点.下面我们选用配方法解答本题.

解：y=-x²-3x-

=- (x²+6x+5)

=- (x²+6x+9-9+5)

=-［(x+3)²-4］

=- (x+3)²+2.

令y=0，得(x+3)²=4.

∴x₁=-5,x₂=-1.

（1）开口向下，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3,2)，与x轴的交点为(-5,0),(-1,0).

（2）单调增区间为(-∞,-3)，单调减区间为(-3,+∞)，有最大值为2，无最小值，零点为-5，-1.

（3）x₁、x₂是方程-x²-3x-=0，即方程x²+6x+5=0的两个根，由根与系数的关系得x₁+x₂=-6,x₁x₂=5.

∴|x₁-x₂|=

（4）∵对称轴x=-3，∴f(-3+x)=f(-3-x).∴f(-)=f(-3+)=f(-3-)=f(-)=.

（5）f(-)=f(-3-)=f(-3+)=f(-)，

∵-、-∈(-3,+∞)，而f(x)在(-3,+∞)上是减函数，且-＞-，

∴f(-)＜f(-)，即f(-)＜f(-).

（6）{x|x＜-5或x＞-1}.