Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{

2n

an

}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设bn=

1

n•2n+1

an，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知等式的右边的2ⁿ⁺¹比到左边，然后等式两边取倒数，展开后就得到要证的结论；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论写出数列{

2n

an

}的通项公式，则a_n可求；
（Ⅲ）把a_n的通项代入后进行列项，运用列项相消即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知可知

an+1

2n+1

=

an

an+2n

，即

2n+1

an+1

=

2n

an

+1，即

2n+1

an+1

-

2n

an

=1
∴数列{

2n

an

}是公差为1的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=

2

a1

+(n-1)×1=2+(n-1)×1=n+1，∴an=

2n

n+1

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=

1

n•2n+1

an=

1

n•2n+1

×

2n

n+1

∴bn=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(1-

1

2

)+

1

2

(

1

2

-

1

3

)+…+

1

2

(

1

n

1

n+1

)=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

n

2(n+1)

．

点评：本题考查了数列的递推式、等差数列的通项公式及数列的求和，训练了由递推式构造性数列的方法，考查了裂项相消法对数列进行求和，是常考题型．