由题意,当k>0时,函数定义域是(0,+∞),当k<0时,函数定义域是(-1,0)
当k>0时,lgkx=2lg(x+1)
∴lgkx-2lg(x+1)=0
∴lgkx-lg(x+1)2=0,即kx=(x+1)2在(0,+∞)仅有一个解
∴x2-(k-2)x+1=0在(0,+∞)仅有一个解
令f(x)=x2-(k-2)x+1
又当x=0时,f(x)=x2-(k-2)x+1=1>0
∴△=(k-2)2-4=0
∴k-2=±2
∴k=0舍,或4
k=0时lgkx无意义,舍去
∴k=4
当k<0时,函数定义域是(-1,0)
函数y=kx是一个递减过(-1,-k)与(0,0)的线段,函数y=(x+1)2在(-1,0)递增且过两点(-1,0)与(0,1),此时两曲线段恒有一个交点,故k<0符合题意
故答案为:k=4或k<0.