Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣lnx，g（x）=ex﹣ax，其中a为正实数，若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，则实数a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[1，e]
【解析】解：∵f（x）=ax﹣lnx，（x＞0），
f′（x）=a﹣ = ，
若f（x）在（1，+∞）上无最小值，
则f（x）在（1，+∞）单调，
∴f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，
或f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥ ，或a≤ ，而函数y= 在（1，+∞）上单调减，
∴x=1时，函数y取得最大值1，
∴a≥1或a≤0，而a为正实数，
故a≥1①，
又∵g（x）=ex﹣ax，
∴g′（x）=ex﹣a，
∵函数g（x）=ex﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增，
∴函数g′（x）=ex﹣a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，
∴a≤[ex]min在区间（1，+∞）上成立．
而ex＞e，
∴a≤e②；
综合①②，a∈[1，e]，
所以答案是：[1，e]．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．