Question

已知数列{a_n}的前n项和为构成数列{b_n}，数列{b_n}的前n项和构成数列{c_n}．若bn=(2n-1)•3n+4，则
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用“当n=1时，a₁=b₁；当n≥2时，a_n=b_n-b_n-1”即可得出；
（2）利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时，a1=b1=(2×1-1)•31+4=7；
当n≥2时，a_n=b_n-b_n-1=[（2n-1）•3ⁿ+4]-[（2n-3）•3^n-1+4]
=4n•3^n-1．
综上所述，an=

7(n=1) 4n•3n-1(n≥2)

．
（2）设Sn=1•31+3•32+5•33+…+(2n-1)•3n，
则3S_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
相减得-2Sn=1×3+2×(32+33+…+3n)-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2×

32(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)•3n+1
=3-9+9×3^n-1-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=-6-（2n-2）•3ⁿ⁺¹，
∴Sn=3+(n-1)•3n+1．
因此cn=Sn+4n=3+(n-1)•3n+1+4n．

点评：本题考查了利用“当n=1时，a₁=b₁；当n≥2时，a_n=b_n-b_n-1”求a_n的方法、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，属于中档题．