Question

已知函数ft(x)=(x-t)2-t（t∈R），设a＜b，f(x)=

fa(x)，fa(x)＜fb(x) fb(x)，fa(x)≥fb(x)

，若函数f（x）+x+a-b有四个零点，则b-a的取值范围是（　　）

• A、(2+

  5

  ，+∞)
• B、(0，2+

  5

  )
• C、(0，2+

  3

  )
• D、(2+

  3

  ，+∞)

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：解方程f_a（x）=f_b（x）得交点P（

a+b-1

2

，(

b-a-1

2

)2-a），函数f（x）的图象与直线l：y=-x+b-a有四个不同的交点，由图象知，点P在l的上方，故

a+b-1

2

+(

b-a-1

2

)2-a-（b-a）＞0，由此解得b-a的取值范围．

解答： 解：作函数f（x）的图象，解方程f_a（x）=f_b（x）
得x=

a+b-1

2

，
即交点P（

a+b-1

2

，(

b-a-1

2

)2-a），
又函数f（x）+x+a-b有四个零点，
即函数f（x）的图象与直线l：y=-x+b-a
有四个不同的交点．
由图象知，点P在l的上方，所以，

a+b-1

2

+(

b-a-1

2

)2-a-（b-a）＞0，
解得b-a＞2-

5

．
故选A．

点评：本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．