Question

（本小题满分12分）

已知函数。

（Ⅰ）求函数的定义域，并判断的单调性；

（Ⅱ）若；

（Ⅲ）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。

Answer 1

（Ⅰ）

当

（Ⅱ）

（Ⅲ）时，函数有极值；

当时的极大值为，的极小值为

当时，的极大值为

解析:

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。

（Ⅰ）由题意知

当

当

当….（4分）

（Ⅱ）因为

由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1.

所以

（Ⅲ）

令

当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值

当时，有两个实根

当x变化时，、的变化情况如下表所示：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

的极大值为，的极小值为

当时，在定义域内有一个实根， 

同上可得的极大值为

综上所述，时，函数有极值；

当时的极大值为，的极小值为

当时，的极大值为