Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²（2ax-3），其中a为常数．
（ I）若a≥0，求证：函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
（ II）若函数g（x）=g（x）+f′（x），x∈[0，1]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（ I）对f（x）进行求导，要证函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，只要其导函数f′（x）在区间（-∞，0）上小于0即可；
（ II）对g（x）进行求导，利用导数研究g（x）的极值，根据根与系数的关系和g（x）在x=0处取得最大值，这个条件求出a的范围；

解答：解：（ I）当a=0时，f（x）=-3x²在区间（-∞，0）上是增函数，
当a＞0时，f′（x）=6ax²-6x=6ax（x-

1

a

），x＜0，∴f′（x）＞0
∴函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，
综上得，当a≥0时，函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数．…（4分）
（ II）当a＞0，g（x）=2ax³-（3-6a）x²-6x，x∈[0，1]…（6分）
g′（x）=6ax²-2（3-6a）x-6=6[ax²-（1-2a）x-1]，x∈[0，1]
令g′（x）=0，即ax²-（1-2a）x-1①，△=4a²+1＞0，…（8分）
设方程①的两个根为x₁，x₂，由x₁，x₂由①式得x₁•x₂=-

2

a

＜0，不妨设x₁＜0＜x₂，．
当0＜x₂＜1时，g（x₂）为极小值，所以g（x）在[0，1]上的最大值只能为g（0）或g（1）；
…（10分）
当x₂≥1时，由于g（x）在[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为g（0），
所以在[0，1]上的最大值只能为g（0）或g（1），…（12分）
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（1）即0≥8a-9，解得
a≤

9

8

，又因为a＞0，所以a∈（0，

9

8

]．…（14分）

点评：本题主要考查函数的求导运算、函数在闭区间上的最值．导数是由高等数学下放到高中的内容，是高中新增的内容，每年必考，要引起重视．