Question

【题目】已知点，椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．

（）求椭圆的方程．

（）设过点的动直线与相交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 或．

【解析】分析：（1）设，由直线的斜率为得，解得，然后根据离心率条件的得a值即可得出标准方程；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线，，，连立方程，由弦长公式和点到直线的距离公式得到三角形的底和高的表达式，然后根据面积公式得到表达式，结合基本不等式求解即可.

详解：

（）设，

由直线的斜率为得，解得，

又离心率，得，

∴，

故椭圆的方程为．

（）当直线轴时，不符合题意，

当直线斜率存在时，设直线，，，

联立，得，

由，得，即或，

，，

∴

，

又点到直线的距离，

∴的面积，

设，则，

∴，当且仅当，即时，等号成立，且，

∴直线的方程为：或．