Question

【题目】试求所有由互异正奇数构成的三元集{a，b，c}，使其满足：.

Answer 1

【答案】7个，，，.

【解析】

据对称性，不妨设a<b<c，由于奇平方数的末位数字只具有1、5、9形式，于是的末位数字，要么是5、5、9的形式，要么是1、9、9的形式.

又知，如果正整数n是3的倍数，那么n2必是9的倍数；如果n不是3的倍数，那么n2被3除余1.

由于2019是3的倍数，但不是9的倍数，因此奇数a、b、c皆不是3的倍数.

注意，即奇数c≤43，而，

即c2>673，且c不是3的倍数，故奇数c≥29.

因此奇数.

注意如下事实：如果奇数为两个正整数的平方和，那么偶数2N必可表为两个互异正奇数的平方和.

这是由于，

若c=43，方程化为：.

因此，.

于是得两解：.

若c=41，方程化为.

由此得：{a，b，c}={7，17，41}.

若c=37，方程化为

，

因此，，

得到三个解：.

若c=35，方程化为：.

而397是一个4N+1型的质数，它可唯一地表为两整数的平方和：，

所以，

得到一个解：{a，b，c}={13，25，35}

若c=31，方程化为：，而23是4N－1型的质数，它不能表为两个正整数的平方和.

若c=29，方程化为：，它含有4N－1型的单质因子，故不能表为两整数的平方和.

综合以上讨论，本题共有七个满足条件的互异正奇数解{a，b，c}，即为：

，，.