Question

【题目】有如下命题：①函数y=sinx与y=x的图象恰有三个交点；②函数y=sinx与y=的图象恰有一个交点；③函数y=sinx与y=x2的图象恰有两个交点；④函数y=sinx与y=x3的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①构造函数f（x）=sinx-x，求出函数的导数，研究函数的导数和单调性，进行判断即可；

②利用与x的关系进行转化判断；

③和④直接作出两个函数的图象即可进行判断.

①设f（x）=sinx-x，则f′（x）=cosx-1≤0，即函数f（x）为减函数，

∵f（0）=0，

∴函数f（x）只有一个零点，即函数y=sinx与y=x的图象恰有一个交点，故①错误，

②由①知当x＞0时，sinx＜x，

当0＜x≤1时，＞x＞sinx，

当x＞1时，＞sinx，

当x=0时，sinx=，综上当x＞0时，＞sinx恒成立，

函数y=sinx与y=的图象恰有一个交点，故②正确，

③作出函数y=sinx与y=x2，的图象，由图象知两个函数有2个交点，即函数y=sinx与y=x2的图象恰有两个交点，故③正确，

④作出函数y=sinx与y=x3，的图象，由图象知两个函数有3个交点，即函数y=sinx与y=x3的图象恰有三个交点，故④正确，

故正确的是②③④，

故选C．