Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，ADBC，BC⊥CD，BC＝CD＝2AD＝2，PD＝，侧面PBC是等边三角形.

（1）证明：PA⊥平面PBC；

（2）求BC与平面PCD所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）先证明BC⊥平面PAM，得到BC⊥PA，又PA⊥PM，根据线面垂直的判定定理证明即可；

（2）BC＝2，过B作BH⊥平面PCD，连接CH，则∠BCH为BC与平面PCD所成的角，利用等体积转化法求出BH，再利用三角公式求出即可.

（1）取BC的中点M连接AM，PM，所以PM⊥BC，AM⊥BC，

PM∩AM＝M，所以BC⊥平面PAM，所以BC⊥PA，所以PA⊥AD，PA＝1，

所以PA2+PM2＝1+3＝4＝AM2，得PA⊥PM，又PA⊥BC，PM∩BC＝M，

故PA⊥平面PBC；

（2）BC＝2，过B作BH⊥平面PCD，连接CH，则∠BCH为BC与平面PCD所成的角，

设P到底面ABCD的距离为h，h＝，

由PC＝CD＝2，PD＝，所以＝，

由等体积法，Vp﹣BCD＝VB﹣PDC，所以，得BH＝，

所以sin∠BCH＝，所以cos∠BCH＝.