Question

4．已知a＞0，且a≠1，讨论f（x）=a${\;}^{-{x}^{2}+3x+2}$的单调性．

Answer 1

分析 令t=-x²+3x+2，求出该函数的单调期间，然后分类讨论外函数y=f（x）=g（t）=a^t的单调性，再由复合函数的单调性求得原函数的单调区间．

解答 解：令t=-x²+3x+2，当x∈（-∞，$\frac{3}{2}$）时，函数t=-x²+3x+2为增函数，当x∈（$\frac{3}{2}，+∞$）时，函数t=-x²+3x+2为减函数．
而当0＜a＜1时，外函数y=f（x）=g（t）=a^t为减函数，
∴复合函数在（-∞，$\frac{3}{2}$）上为减函数，在（$\frac{3}{2}，+∞$）上为增函数；
当a＞1时，外函数y=f（x）=g（t）=a^t为增函数，
∴复合函数在（-∞，$\frac{3}{2}$）上为增函数，在（$\frac{3}{2}，+∞$）上为减函数．

点评 本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．