Question

15．求下列函数的定义城和值域．
（1）y=${（\frac{1}{3}）}^{\frac{1+x}{1-x}}$
（2）y=${（\frac{1}{3}）}^{\sqrt{-{x}^{2}-x+2}}$．

Answer 1

分析 （1）由指数上的分母不为0求得x的取值集合可得函数定义域，再求出$\frac{1+x}{1-x}$的范围，然后结合指数函数的单调性求得原函数的值域；
（2）由指数上根式内部的代数式大于等于0求得x的取值集合得函数的定义域，求出$\sqrt{-{x}^{2}-x+2}$的范围，然后结合指数函数的单调性求得原函数的值域．

解答 解：（1）由1-x≠0，得x≠1，∴函数y=${（\frac{1}{3}）}^{\frac{1+x}{1-x}}$的定义域为{x|x≠1}；
令t=$\frac{1+x}{1-x}=-\frac{x+1}{x-1}=-\frac{x-1+2}{x-1}=-\frac{2}{x-1}-1$，则t≠-1，
∴$（\frac{1}{3}）^{t}≠3$．
则函数y=${（\frac{1}{3}）}^{\frac{1+x}{1-x}}$的值域为（0，3）∪（3，+∞）；
（2）由-x²-x+2≥0，解得-2≤x≤1．
∴函数y=${（\frac{1}{3}）}^{\sqrt{-{x}^{2}-x+2}}$的定义域为[-2，1]；
∵$-{x}^{2}-x+2=-（{x}^{2}+x-2）=-（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$$≤\frac{9}{4}$，
∴$\sqrt{-{x}^{2}-x+2}∈[0，\frac{3}{2}]$，
则${（\frac{1}{3}）}^{\sqrt{-{x}^{2}-x+2}}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{9}，1$]．
则函数y=${（\frac{1}{3}）}^{\sqrt{-{x}^{2}-x+2}}$的值域为[$\frac{\sqrt{3}}{9}，1$]．

点评 本题考查函数的定义域及值域的求法，考查了复合函数的值域，解答此类问题关键是求出内函数的取值范围，是中档题．