Question

【题目】已知函数 ，且f（1）=1，f（﹣2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；
（3）当x∈[1，2]时，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（1）=1，f（﹣2）=4．

得

解得：

（2）由（1） ，

所以 ，

令x+1=t，t＜0，

则

=

因为x＜﹣1，所以t＜0，

所以，当 ，

所以 ，

即AP的最小值是 ，此时 ，

点P的坐标是 ．

（3）问题即为 对x∈[1，2]恒成立，

也就是 对x∈[1，2]恒成立，

要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．

法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为 对x∈[1，2]恒成立，

即 对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，

①当x=1时， 或m＞2，

②当x≠1时， 且 对x∈（1，2]恒成立，

对于 对x∈（1，2]恒成立，等价于 ，

令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]， ，t∈（2，3]递增，

∴ ， ，结合0＜m＜1或m＞2，

∴m＞2

对于 对x∈（1，2]恒成立，等价于

令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，

，t∈（0，1]递减，

∴ ，

∴m≤4，

∴0＜m＜1或2＜m≤4，

综上：2＜m≤4

法二：问题即为 对x∈[1，2]恒成立，

也就是 对x∈[1，2]恒成立，

要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．

故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，

令g（x）=x|x﹣m|

①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，

依题意g（2）≤m， ，舍去；

②若m＞2，由于x∈[1，2]，故 ，

考虑到 ，再分两种情形：

（ⅰ） ，即2＜m≤4，g（x）的最大值是 ，

依题意 ，即m≤4，

∴2＜m≤4；

（ⅱ） ，即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，

故g（2）≤m，

∴2（m﹣2）≤m，

∴m≤4，舍去．

综上可得，2＜m≤4

【解析】（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．代入解析式，即可求出a，b的值，（2）设P点坐标为（x，y），由两点间的距离公式表示出 | A P | 2=( x 1 ) 2 + 4 ( ) 2 ，利用换元令令x+1=t，t＜0，即可求出AP的最小值，点P的坐标，（3）法一：由题目条件对不等式化简得，对m讨论，将恒成立问题化为最值问题，法二：问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，结合函数的性质可求得m的取值范围.