Question

如图所示，已知矩形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AD=

3

，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）证明：CM∥平面DFB；
（2）求直线DM与平面ABCD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）直接利用线线平行转化成线面平行．
（2）利用已知条件先求出相关的线段的长，进一步做出线面的夹角，再求出夹角的正弦值．

解答： （1）证明：连接AC交BD于点O，连接OF，
已知矩形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
在矩形ACEF中，所以：CM∥OF，
OF?平面DFB，
CM?平面DFB，
所以：CM∥平面DFB．
（2）解：矩形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AD=

3

，AF=1，
M是线段EF的中点．
所以：BD²=AD²+AB²，
解得：BD=

5

，
所以：DO=

5

2

，
OM∥AF，
OM⊥AC，
所以：OM⊥平面ABCD，
OM=1，
所以tan∠MDO=

MO

OD

=

2 5

5

，
sin∠MDO=

2

3

．

点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，面面垂直的性质，线面的夹角的应用，属于基础题型．