Question

已知点A，D分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，椭圆的左右焦点分别是F₁和F₂，点P是线段AD上的动点，如果

PF1

•

PF2

的最大值2，最小值是-

2

3

，那么，椭圆的C的标准方程是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：向量与圆锥曲线

分析：画出图形，结合图形，求出线段AD的方程，写出

PF1

•

PF2

的表达式，根据它表示的几何意义，
得出P在A点时，

PF1

•

PF2

最大，P在点O到直线AD的距离时，

PF1

•

PF2

最小，求出a²与b²，即得椭圆的方程．

解答： 解：∵画出图形，如图所示；
∴直线AD的方程是

x

-a

+

y

b

=1，x∈[-a，0]；
∴

PF1

=（-c-x，-y），

PF2

=（c-x，-y），

PF1

•

PF2

=x²-c²+y²=x²+y²-c²；
设t=x²+y²，则

t

表示点P到原点O的距离，
∴当P在A点时，

t

最大，
此时

PF1

•

PF2

=（-a）²-0²-c²=b²=2；
当P在点O到直线AD的距离时，

t

最小，
此时

t

=

1

( 1 -a )2+( 1 b )2

，
∴t=

a2b2

a2+b2

=

2a2

a2+2

，
∴

PF1

•

PF2

=

2a2

a2+2

-（a²-2）=-

2

3

，
整理得3a⁴-8a²-16=0，
解得a²=4，或a²=-

4

3

（舍去）；
综上，a²=4，b²=2，
椭圆的方程是

x2

4

+

y2

2

=1．
故答案为：

x2

4

+

y2

2

=1．

点评：本题考查了向量与椭圆的应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了求最值的问题，是综合题．