Question

设点P在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右支上，双曲线两焦点F₁、F₂，|PF₁|=4|PF₂|，求双曲线离心率的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a进而根据|PF₁|=4|PF₂|，求得2a=3|PF₂|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，

c

a

=

5

3

且双曲线离心率大于1，最后综合答案可得．

解答： 解根据双曲线定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，即4|PF₁|-|PF₁|=2a．
∴|PF₁|=

8a

3

，|PF₂|=

2a

3

在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
2c＜5|PF₂||，c＜

5

2

|PF₂|=

5

3

a，
∴

c

a

＜

5

3

，
当p为双曲线顶点时，

c

a

=

5

3

又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤

5

3

，
故双曲线离心率的取值范围为：（1，

5

3

]

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系．解题的时候一定要注意点P在椭圆顶点位置时的情况，以免遗漏答案．