Question

求证：
（1）lnx＜

1

2

x2-

1

2

x（x≥2）；
（2）

ln2

2

+

ln3

3

+…+

lnn

n

＜

n(n-1)

4

（n≥2）．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,推理和证明

分析：（1）构造函数f（x）=

1

2

x2-

1

2

x-lnx（x≥2），利用导数法可判断出f（x）在[2，+∞）上单调递增，从而可证得结论成立．
（2）构造函数g（x）=

lnx

x

-

x-1

2

（x＞0），利用导数法可判断g（x）在[3，+∞）上单调递减，当x≥3时，g（x）_max=g（3）=

ln3

3

-1＜0，又g（2）=

ln2

2

-

1

2

＜0，利用累加法可证结论成立．

解答： 证明：（1）令f（x）=

1

2

x2-

1

2

x-lnx（x≥2），则f′（x）=x-

1

2

-

1

x

，
因为y=x-

1

2

与y=-

1

x

在[2，+∞）上均为增函数，
所以，f′（x）=x-

1

2

-

1

x

在[2，+∞）上为增函数，
所以，f′（x）≥f′（2）=2-

1

2

-

1

2

=1＞0，
所以，f（x）=

1

2

x2-

1

2

x-lnx（x≥2）在[2，+∞）上为增函数，
所以，f（x）=

1

2

x2-

1

2

x-lnx≥f（2）=2-1-ln2＞0，
所以

1

2

x2-

1

2

x＞lnx，即lnx＜

1

2

x2-

1

2

x（x≥2）（证毕）．
（2）令g（x）=

lnx

x

-

x-1

2

（x＞0），
则g′（x）=

1-lnx

x2

-

1

2

，
当x≥3时，g′（x）＜0，所以，g（x）在[3，+∞）上单调递减；
所以，当x≥3时，g（x）_max=g（3）=

ln3

3

-1＜0，
∴g（4）=

ln4

4

-

4-1

2

=

ln4

4

-

3

2

＜0，
…，
g（n）=

lnn

n

-

n-1

2

＜0，
又g（2）=

ln2

2

-

1

2

＜0，
所以，g（2）+g（3）+…+g（n）=（

ln2

2

+

ln3

3

+…+

lnn

n

）-（

1

2

+

2

2

+…+

n-1

2

）＜0，
所以，

ln2

2

+

ln3

3

+…+

lnn

n

＜

1

2

+

2

2

+…+

n-1

2

=

1

2

•

(1+n-1)(n-1)

2

=

n(n-1)

4

，
故原命题得证．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查构造函数思想与导数法判断函数的单调性、放缩法与等差数列的求和的综合应用，考查转化思想与推理证明能力．