Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l过定点M（a，0），a＞0且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB为锐角，则实数a的取值范围是（　　）

• A、0＜a＜4
• B、a＞4
• C、a≥2
• D、0＜a＜2

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：向量与圆锥曲线

分析：由题意设出过M点的直线方程为x=ty+a，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的积，由向量

OA

，

OB

的数量积大于0求得a的范围．

解答： 解：由题意设直线l的方程为x=ty+a，
联立

x=ty+a y2=4x

，得y²-4ty-4a=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4a，
x1x2=t2y1y2+ta(y1+y2)+a2
=-4at²+4at²+a²=a²．
由

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=a2-4a＞0，
解得：a＞4．
故选：B．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求解，是中档题．