Question

椭圆

x2

4

+y²=1中斜率为1的平行弦的中点的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设弦的两端点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中点为M（x，y），

解答： 解：（1）设弦的两端点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中点为M（x，y），
则2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
把A、B两点代入

x2

4

+y²=1得，

x12 4 +y12=1 x22 4 +y22=1

，
两式相减并整理可得，

x12-x22

4

+y12-y22=0，

(x1+x2)(x1-x2)

4

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
即

x(x1-x2)

2

+2y(y1-y2)=0，①
又平行弦AB的斜率为1，所以

y1-y2

x1-x2

=1，代入式①得x+4y=0，
所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分），
故答案为：x+4y=0（椭圆内部分）．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，注意点差法的合理运用，是中档题．