Question

（12分）已知数列，满足，，且（）

（Ⅰ）求数列，的通项公式．

（Ⅱ）求数列的前项和．

 

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）本题的已知条件中，、在所满足的关系式中相互交叉表达，显然无法从现有已知条件中直接求出、的通项公式，所以必须通过构造新的数列来间接求解，再根据关系式中的系数特征可以看出，两个条件相加、减后得到的结果分别构成等差、等比数列，从而找到本题的突破口，接下来只需通过加、减消元即可得出所求；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求得的通项公式的基础上，只需借助相关前项求和的恰当方法，不难得出所求.

试题解析：（Ⅰ）由题设得，

可令，则（），即，

所以是首项为，公差为1的等差数列，通项公式为，

由题设得，

可令，则，即

，，

所以是首项为，公比为的等比数列，通项公式为．

综上所述，可得解之得：；；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

显然是首项为，公比为的等比数列，

是首项为2，公差为的等差数列，

所以数列的前和.

考点：数列的构造思想；等差、等比数列的定义、通项公式及前项和；分组求和的方法；方程思想和发散思维.